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Nivel secundario
Función exponencial y logarítmica: ecuaciones y gráficos
Exponencial y logaritmo suelen aparecer en 4° o 5° año, y lo que más cuesta es entender qué es un logaritmo. Si lo pensás como la pregunta a qué exponente hay que elevar la base para obtener este número, muchas cosas se aclaran. Después vienen las propiedades, las ecuaciones y los gráficos con asíntotas. Son temas que vuelven en química y en cualquier carrera con matemática, así que vale la pena entenderlos bien.
El tema
Para arrancar
En clase trabajamos primero con potencias, porque muchas dificultades vienen de ahí. Después vemos la función exponencial con situaciones de crecimiento y decrecimiento, el logaritmo como su inversa y las ecuaciones que se resuelven igualando bases o aplicando logaritmos. También practicamos leer el gráfico: dominio, imagen, asíntota y cortes con los ejes. Siempre cerramos controlando si el resultado es razonable.
Conceptos clave
Lo que tenés que entender
Función exponencial
f(x) = k · aˣ con a positivo y distinto de 1. Si a es mayor que 1 crece; si está entre 0 y 1 decrece.
Asíntota horizontal
La exponencial se acerca a una recta horizontal sin tocarla. En f(x) = aˣ + c, la asíntota es y = c.
Definición de logaritmo
logₐ b = c significa que aᶜ = b. El logaritmo es un exponente.
Propiedades
El logaritmo de un producto es la suma de logaritmos, el de un cociente es la resta y el de una potencia baja el exponente multiplicando.
Ecuaciones exponenciales
Si se puede, se igualan bases; si no, se aplica logaritmo a ambos miembros.
Función logarítmica
Es la inversa de la exponencial. Su dominio son los números positivos y tiene una asíntota vertical.
Paso a paso
Un ejercicio como los de la prueba
Resuelto como lo hacemos en clase: primero la idea, después la cuenta.
Ejercicio resuelto
Un cultivo empieza con 500 bacterias y se duplica cada hora: N(t) = 500 · 2ᵗ. a) ¿Cuándo llega a 8000? b) ¿Cuándo llega a 5000?
- a) 500 · 2ᵗ = 8000, entonces 2ᵗ = 16 = 2⁴, y t = 4.
- b) 500 · 2ᵗ = 5000, entonces 2ᵗ = 10.
- Aplico logaritmo decimal: t · log 2 = log 10 = 1.
- t = 1 / log 2 ≈ 1 / 0,30103 ≈ 3,32.
- Control: 2³ = 8 y 2⁴ = 16, así que t tiene que estar entre 3 y 4. Coincide.
Resultado a) A las 4 horas. b) A las 3,32 horas aproximadamente.
Ojo con esto
Los errores típicos
- Pensar que log(a + b) = log a + log b.
- Multiplicar la base por el exponente: 500 · 2ᵗ no es 1000ᵗ.
- Olvidar que el argumento de un logaritmo tiene que ser positivo y no verificar las soluciones.
- Confundir la asíntota horizontal de la exponencial con la vertical de la logarítmica.
- Redondear log 2 a 0,3 demasiado pronto.
En clase
Cómo lo trabajamos con Gabriela
Arrancamos repasando potencias y raíces, y después avanzamos con ejercicios graduados: primero ecuaciones donde se igualan bases, después las que necesitan logaritmos y al final los gráficos y problemas. Siempre controlamos si el resultado tiene sentido.
¿Qué es un logaritmo en palabras simples?
Es un exponente. log₂ 8 = 3 porque 2 elevado a 3 da 8. Preguntar por un logaritmo es preguntar a qué número hay que elevar la base.
¿Por qué no existe el logaritmo de un número negativo?
Porque ninguna potencia de una base positiva da un resultado negativo o cero. Por eso el dominio de la función logarítmica son los reales positivos.
¿En qué año se ve función exponencial?
En Provincia, el diseño de 5° año incluye las funciones exponencial y logarítmica. En CABA aparecen en el Ciclo Orientado y el año depende de la escuela.
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