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Matemática (51) del CBC
Derivadas en Matemática 51: reglas, cadena y recta tangente
Derivadas abre la segunda mitad de la materia y es un cambio de ritmo: después de varias unidades de funciones, de golpe tenés que manejar un montón de reglas y combinarlas rápido. Si las reglas no te salen automáticas, cada ejercicio se vuelve lento y aparecen errores de cuentas que arrastrás hasta el final.
El tema
Para arrancar
El punto que más cuesta es la regla de la cadena, porque aparece en casi todo: logaritmos de polinomios, exponenciales con exponentes compuestos, raíces de funciones. El otro tema fijo del parcial es la recta tangente, que combina derivada con la ecuación de la recta de la unidad 2. Si dominás esas dos cosas, tenés una base sólida para el estudio de funciones.
Conceptos clave
Lo que tenés que entender
Cociente incremental
La derivada en un punto es el límite del cociente (f(a + h) - f(a))/h cuando h tiende a 0. Geométricamente, es la pendiente de la recta tangente al gráfico en ese punto.
Reglas básicas
La derivada de xⁿ es n·xⁿ⁻¹, la de eˣ es eˣ y la de ln(x) es 1/x. La derivada de una suma es la suma de las derivadas y las constantes multiplicativas se mantienen.
Producto y cociente
(f·g)' = f'·g + f·g' y (f/g)' = (f'·g - f·g')/g². Hay que respetar el orden en el numerador del cociente, porque la resta no es conmutativa.
Regla de la cadena
Para derivar una función compuesta f(g(x)) se deriva la de afuera evaluada en g(x) y se multiplica por la derivada de la de adentro: f'(g(x))·g'(x).
Recta tangente
La recta tangente al gráfico de f en x = a es y = f'(a)(x - a) + f(a). Necesitás dos datos: el punto (a, f(a)) y la pendiente f'(a).
Recta normal
Es la perpendicular a la tangente en el mismo punto, así que su pendiente es -1/f'(a), siempre que f'(a) ≠ 0.
Paso a paso
Un ejercicio como los de la prueba
Resuelto como lo hacemos en clase: primero la idea, después la cuenta.
Ejercicio resuelto
Sea f(x) = ln(x² - 3). Hallar la ecuación de la recta tangente y de la recta normal al gráfico de f en el punto de abscisa x = 2.
- Punto: f(2) = ln(4 - 3) = ln(1) = 0. El punto es (2, 0).
- Derivada con regla de la cadena: f'(x) = 1/(x² - 3) · 2x = 2x/(x² - 3).
- Pendiente de la tangente: f'(2) = 4/(4 - 3) = 4.
- Recta tangente: y = 4(x - 2) + 0, es decir y = 4x - 8.
- Pendiente de la normal: -1/4. Recta normal: y = -1/4·(x - 2), es decir y = -x/4 + 1/2.
- Control: las dos rectas pasan por (2, 0), porque 4·2 - 8 = 0 y -2/4 + 1/2 = 0, y el producto de sus pendientes es 4·(-1/4) = -1.
Resultado Recta tangente: y = 4x - 8. Recta normal: y = -x/4 + 1/2.
Ojo con esto
Los errores típicos
- Derivar ln(x² - 3) como 1/(x² - 3) y olvidarse de multiplicar por la derivada de adentro.
- En la regla del cociente, invertir el orden de la resta del numerador.
- Usar f'(x) en lugar de f'(a) en la ecuación de la tangente y dejar una recta con x en la pendiente.
- Calcular la pendiente de la normal como -f'(a) en lugar de -1/f'(a).
- No verificar que el punto pertenezca al dominio de la función antes de empezar.
En clase
Cómo lo trabajamos con Gabriela
En la clase hacemos práctica intensiva de derivación, empezando por funciones simples y sumando de a una las reglas hasta llegar a compuestas como las del parcial. Te muestro cómo identificar cuál es la función de afuera y cuál la de adentro para aplicar la cadena sin dudar. Después trabajamos recta tangente y normal con los ejercicios de tu guía, con un control rápido para detectar errores antes de entregar.
¿Me van a pedir derivar por definición?
Muchos programas incluyen el cociente incremental y la definición de derivada, así que puede aparecer en algún ítem, sobre todo con funciones simples. La mayoría de los ejercicios, de todos modos, se resuelven con las reglas. Revisá los parciales anteriores de tu cátedra.
¿Cómo derivo una raíz?
Escribila como potencia: √x = x^(1/2), y aplicá la regla de la potencia. Si adentro de la raíz hay una función, como √(x² + 1), usás además la regla de la cadena: la derivada es 2x/(2√(x² + 1)) = x/√(x² + 1).
¿Qué pasa si la tangente tiene que ser paralela a una recta dada?
Rectas paralelas tienen la misma pendiente. Entonces igualás f'(x) a la pendiente de la recta dada, despejás x y con ese valor armás la tangente. Es una variante muy común en los parciales.
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