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Matemática (51) del CBC
Funciones polinómicas en Matemática 51: raíces, factoreo y signos
Con los polinomios de grado 3 o más ya no alcanza la resolvente, y muchos estudiantes se traban justo ahí. El parcial suele darte una raíz como dato y pedirte que factorices, encuentres todos los ceros y digas dónde la función es positiva o negativa. Si no sabés qué hacer con esa raíz, el ejercicio entero se cae.
El tema
Para arrancar
La buena noticia es que el procedimiento es siempre parecido: dividir por Ruffini, factorizar lo que queda y armar una tabla de signos usando el teorema de Bolzano. Una vez que lo entendés, también te sirve para inecuaciones, dominios con raíces y, más adelante, para el estudio de funciones con derivadas. Por eso vale la pena dedicarle tiempo ahora y no dejarlo para la semana del parcial.
Conceptos clave
Lo que tenés que entender
Teorema del resto
El resto de dividir un polinomio P(x) por (x - a) es P(a). Por eso, si P(a) = 0, x = a es raíz y (x - a) es un factor de P.
Regla de Ruffini
Es una forma rápida de dividir un polinomio por (x - a). Los números que quedan abajo son los coeficientes del cociente, que tiene un grado menos que el polinomio original.
Factorización completa
Después de bajar el grado con Ruffini, el cociente se factoriza con la resolvente o buscando otra raíz. El objetivo es escribir P(x) como producto del coeficiente principal por factores (x - raíz).
Continuidad y teorema de Bolzano
Un polinomio es continuo, así que entre dos ceros consecutivos no puede cambiar de signo. Alcanza con evaluar un punto de prueba en cada intervalo para saber el signo en todo ese tramo.
Conjuntos de positividad y negatividad
Con los ceros ordenados y los signos de cada intervalo armás C⁺ y C⁻. Es la misma información que después usás para graficar el polinomio de forma aproximada.
Raíces dobles
Si un factor aparece al cuadrado, como (x - 2)², la función toca el eje sin cambiar de signo en ese punto. Es un detalle que cambia toda la tabla de signos.
Paso a paso
Un ejercicio como los de la prueba
Resuelto como lo hacemos en clase: primero la idea, después la cuenta.
Ejercicio resuelto
Sea f(x) = x³ - 2x² - 5x + 6. Sabiendo que x = 1 es raíz de f, factorizar f, hallar todos sus ceros y los conjuntos de positividad y negatividad.
- Verificamos el dato: f(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0, así que (x - 1) es factor de f.
- Dividimos por Ruffini con a = 1 usando los coeficientes 1, -2, -5, 6. Se obtiene 1, -1, -6 con resto 0, o sea el cociente es x² - x - 6.
- Factorizamos el cociente: x² - x - 6 = (x - 3)(x + 2), porque sus raíces son 3 y -2.
- Entonces f(x) = (x - 1)(x - 3)(x + 2) y los ceros son x = -2, x = 1 y x = 3.
- Por Bolzano evaluamos un punto en cada intervalo: f(-3) = -27 - 18 + 15 + 6 = -24 < 0; f(0) = 6 > 0; f(2) = 8 - 8 - 10 + 6 = -4 < 0; f(4) = 64 - 32 - 20 + 6 = 18 > 0.
- Armamos los conjuntos con esos signos.
Resultado f(x) = (x - 1)(x - 3)(x + 2); ceros: -2, 1 y 3; C⁺ = (-2, 1) ∪ (3, +∞); C⁻ = (-∞, -2) ∪ (1, 3).
Ojo con esto
Los errores típicos
- Saltear un coeficiente nulo en Ruffini (por ejemplo, en x³ - 4x + 1 falta el término x² y hay que poner un 0).
- Olvidarse de multiplicar por el coeficiente principal al escribir la factorización.
- Tomar puntos de prueba que coinciden con un cero o que quedan fuera del intervalo.
- Suponer que los signos siempre se alternan, sin tener en cuenta las raíces dobles.
- Equivocarse en cuentas con potencias de números negativos, como (-3)³.
En clase
Cómo lo trabajamos con Gabriela
En la clase practicamos Ruffini hasta que sea mecánico y nos concentramos en lo que realmente se evalúa: factorizar bien y justificar los signos. Trabajamos con polinomios de tu guía que tengan coeficientes nulos, raíces dobles o coeficiente principal negativo, que son las trampas típicas, y te muestro cómo escribir la justificación de Bolzano para que el corrector no te descuente.
¿Qué hago si el ejercicio no me da ninguna raíz?
Probá con los divisores del término independiente (y sus negativos), que son las posibles raíces enteras cuando el coeficiente principal es 1. En el parcial casi siempre alguna de ellas funciona. Si el polinomio es bicuadrado, como x⁴ - 5x² + 4, también se puede sustituir x² por otra variable.
¿Es obligatorio usar Bolzano para los signos?
Muchas cátedras piden justificar los conjuntos de positividad y negatividad, y la forma estándar es usar la continuidad: ceros ordenados más un punto de prueba por intervalo. Escribir solo el resultado sin justificación puede costarte puntos.
¿Para qué sirve esto en el resto de la materia?
La misma tabla de signos la vas a usar para estudiar el signo de la derivada, que te da crecimiento y decrecimiento, y el de la derivada segunda, que te da concavidad. Es una herramienta que se repite hasta el final.
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