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Matemática (51) del CBC
Funciones trigonométricas en Matemática 51 del CBC
Trigonometría suele ser la última unidad antes del primer parcial y llega cuando el tiempo ya aprieta. Además, mezcla cosas de la secundaria que muchos tienen olvidadas, como el sistema circular y los valores de seno y coseno de los ángulos notables, con un enfoque nuevo: estudiar seno y coseno como funciones con gráfico, período e imagen.
El tema
Para arrancar
Los ejercicios típicos te dan una función como a·sen(bx) + c y te piden su período, su imagen, sus ceros, máximos y mínimos en un intervalo. El error más común no es de concepto: es encontrar una sola solución con la calculadora y olvidarse de las otras que están dentro del intervalo pedido.
Conceptos clave
Lo que tenés que entender
Sistema circular
Los ángulos se miden en radianes: una vuelta completa son 2π y media vuelta son π. En las funciones trigonométricas de la materia, x siempre está en radianes.
Circunferencia trigonométrica
El seno y el coseno de un ángulo son las coordenadas de un punto sobre la circunferencia de radio 1. Mirarla te ayuda a encontrar todos los ángulos con un mismo seno o coseno.
Amplitud e imagen
En f(x) = a·sen(bx) + c la amplitud es |a| y la imagen es [c - |a|, c + |a|]. La constante c sube o baja todo el gráfico.
Período
El período de sen(bx) y cos(bx) es 2π/|b|. Para la tangente es π/|b|. Te dice cada cuánto se repite el gráfico.
Ecuaciones trigonométricas
Una ecuación como sen(u) = k tiene, en cada vuelta, dos soluciones (salvo k = 1 o k = -1). Se escriben todas sumando múltiplos del período y después se eligen las que caen en el intervalo.
Máximos, mínimos y positividad
El máximo de a·sen(bx) + c con a > 0 se alcanza cuando sen(bx) = 1 y el mínimo cuando sen(bx) = -1. Los intervalos de positividad salen de resolver una inecuación con la misma idea.
Paso a paso
Un ejercicio como los de la prueba
Resuelto como lo hacemos en clase: primero la idea, después la cuenta.
Ejercicio resuelto
Sea f(x) = 2·sen(2x) - 1. Hallar amplitud, período e imagen de f, y en el intervalo [0, π] encontrar sus ceros, el máximo, el mínimo y el conjunto de positividad.
- Amplitud: |a| = 2. Período: 2π/2 = π. Imagen: [-1 - 2, -1 + 2] = [-3, 1].
- Ceros: 2·sen(2x) - 1 = 0, entonces sen(2x) = 1/2. En una vuelta, sen(u) = 1/2 para u = π/6 y u = 5π/6.
- Como x está en [0, π], 2x está en [0, 2π]. Entonces 2x = π/6 o 2x = 5π/6, es decir x = π/12 o x = 5π/12.
- Máximo: sen(2x) = 1 cuando 2x = π/2, o sea x = π/4, con f(π/4) = 2 - 1 = 1.
- Mínimo: sen(2x) = -1 cuando 2x = 3π/2, o sea x = 3π/4, con f(3π/4) = -2 - 1 = -3.
- Positividad: f(x) > 0 equivale a sen(2x) > 1/2, que con 2x en [0, 2π] ocurre para 2x en (π/6, 5π/6), es decir x en (π/12, 5π/12).
Resultado Amplitud 2, período π, Im f = [-3, 1]; en [0, π]: ceros x = π/12 y x = 5π/12; máximo 1 en x = π/4; mínimo -3 en x = 3π/4; C⁺ = (π/12, 5π/12).
Ojo con esto
Los errores típicos
- Usar la calculadora en grados cuando la función está en radianes.
- Quedarse con una sola solución de sen(u) = k y no buscar la segunda de la vuelta.
- Olvidarse de dividir por b al despejar x en sen(bx) = k, o dividir antes de sumar los múltiplos del período.
- Calcular la imagen como [-a, a] sin sumar el desplazamiento c.
- No respetar el intervalo pedido y dar soluciones que quedan afuera.
En clase
Cómo lo trabajamos con Gabriela
En clase repasamos lo que hace falta de la secundaria, sin vueltas: radianes, ángulos notables y la circunferencia trigonométrica. Después atacamos los ejercicios del tipo a·sen(bx) + c con un esquema que te asegura encontrar todas las soluciones del intervalo. Como suele ser el último tema del primer parcial, lo combinamos con un repaso integrador de las unidades anteriores.
¿Tengo que saber de memoria los valores de seno y coseno?
Los de 0, π/6, π/4, π/3 y π/2 conviene saberlos, porque los parciales están armados con esos ángulos. Con la circunferencia trigonométrica podés deducir los de los otros cuadrantes sin memorizar más.
¿Cómo sé cuántas soluciones hay en un intervalo?
Fijate cuántas vueltas completa el argumento. Si x va de 0 a π y el argumento es 2x, el argumento recorre de 0 a 2π, o sea una vuelta, y en general vas a tener dos soluciones para sen(2x) = k con -1 < k < 1.
¿Entran las fórmulas trigonométricas?
Los contenidos mínimos incluyen el uso de fórmulas trigonométricas, pero el peso varía mucho entre cátedras. Lo más seguro es revisar la guía y los parciales anteriores de tu cátedra para ver si aparecen identidades o solo funciones y ecuaciones.
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