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Matemática (51) del CBC
Función cuadrática en Matemática 51 del CBC
La función cuadrática aparece temprano en Matemática 51 y después vuelve en casi todas las unidades: en dominios, en inecuaciones, en derivadas y en áreas. Si ahora te cuesta encontrar el vértice o no sabés cómo justificar la imagen, conviene resolverlo ya, porque más adelante se da por sabido y nadie lo vuelve a explicar.
El tema
Para arrancar
Los ejercicios de parcial rara vez piden una sola cosa. Te dan una parábola y una recta y te piden vértice, ceros, imagen, conjuntos de positividad y negatividad y los puntos de intersección, todo en el mismo ítem. Lo que hace la diferencia es tener un orden fijo para resolverlo y saber qué dato sale de cuál, para no repetir cuentas ni dejar ítems sin contestar.
Conceptos clave
Lo que tenés que entender
Forma polinómica, canónica y factorizada
La misma cuadrática puede escribirse como ax² + bx + c, como a(x - xv)² + yv o como a(x - x₁)(x - x₂). Cada forma muestra algo distinto: la canónica da el vértice a la vista y la factorizada da los ceros.
Vértice y eje de simetría
La coordenada x del vértice es xv = -b/(2a) y el eje de simetría es la recta vertical x = xv. La coordenada y se obtiene reemplazando xv en la fórmula.
Ceros y discriminante
Los ceros salen de la fórmula resolvente. El discriminante b² - 4ac te dice antes de calcular si hay dos ceros, uno solo o ninguno real.
Imagen
Si a > 0 la parábola abre hacia arriba y la imagen es [yv, +∞); si a < 0 abre hacia abajo y la imagen es (-∞, yv]. Todo depende del signo de a y del vértice.
Positividad y negatividad
Con los ceros y el signo de a sabés dónde la función es positiva y dónde negativa. Se expresa con intervalos abiertos, porque en los ceros la función vale 0.
Intersección con una recta
Para saber dónde se cortan una parábola y una recta se igualan las dos fórmulas y se resuelve la ecuación cuadrática que queda. Cada solución da la x de un punto de corte.
Paso a paso
Un ejercicio como los de la prueba
Resuelto como lo hacemos en clase: primero la idea, después la cuenta.
Ejercicio resuelto
Sea f(x) = -2x² + 8x - 6. Hallar el vértice, los ceros, la imagen, los conjuntos de positividad y negatividad, y los puntos donde el gráfico de f corta a la recta y = 2x - 6.
- Vértice: a = -2, b = 8, entonces xv = -8/(2·(-2)) = 2. Reemplazando, f(2) = -2·4 + 16 - 6 = 2. El vértice es V = (2, 2).
- Ceros: -2x² + 8x - 6 = 0 equivale a x² - 4x + 3 = 0, que se factoriza como (x - 1)(x - 3) = 0. Los ceros son x = 1 y x = 3.
- Imagen: como a = -2 < 0, la parábola abre hacia abajo y el máximo es yv = 2. La imagen es (-∞, 2].
- Signos: abre hacia abajo y corta al eje x en 1 y 3, así que es positiva entre los ceros. C⁺ = (1, 3) y C⁻ = (-∞, 1) ∪ (3, +∞).
- Intersección con la recta: -2x² + 8x - 6 = 2x - 6, entonces -2x² + 6x = 0, es decir x·(-2x + 6) = 0. Las soluciones son x = 0 y x = 3.
- Reemplazando en la recta: para x = 0, y = -6; para x = 3, y = 0. Se verifica en f: f(0) = -6 y f(3) = 0.
Resultado V = (2, 2); ceros x = 1 y x = 3; Im f = (-∞, 2]; C⁺ = (1, 3), C⁻ = (-∞, 1) ∪ (3, +∞); la recta corta al gráfico en (0, -6) y (3, 0).
Ojo con esto
Los errores típicos
- Escribir xv = b/(2a) y olvidarse del signo menos.
- Dar la imagen como (-∞, +∞) o usar la x del vértice en lugar de la y.
- Dividir por x en una ecuación como -2x² + 6x = 0 y perder la solución x = 0.
- Incluir los ceros en los conjuntos de positividad o negatividad.
- No verificar los puntos de intersección reemplazando en las dos fórmulas.
En clase
Cómo lo trabajamos con Gabriela
En la clase armamos un recorrido fijo para cualquier cuadrática: signo de a, vértice, ceros, imagen y signos, en ese orden, y lo practicamos con los ejercicios de tu guía hasta que te salga sin pensar el procedimiento. Después le sumamos las variantes que toma tu cátedra, como intersección con rectas o problemas de aplicación, para que el parcial no te sorprenda con un enunciado distinto.
¿Tengo que saber completar cuadrados?
Ayuda mucho, porque te da la forma canónica y el vértice de un solo paso. De todos modos, con xv = -b/(2a) y reemplazando también llegás al vértice. En clase vemos las dos formas y elegís la que te resulte más segura en el parcial.
¿Qué pasa si el discriminante da negativo?
La función no tiene ceros reales: la parábola queda toda arriba o toda abajo del eje x según el signo de a. En ese caso la función es siempre positiva o siempre negativa, y el conjunto contrario es vacío.
¿Cómo sé si la recta y la parábola no se cortan?
Al igualar las fórmulas te queda una ecuación cuadrática. Si su discriminante es negativo, no hay solución real y entonces no hay puntos de intersección. Si da cero, la recta toca a la parábola en un solo punto.
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