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Matemática (51) del CBC
Estudio completo de funciones con derivadas en el CBC
El estudio de funciones junta casi todo lo que viste en la materia: dominio, ceros, asíntotas, derivadas y tablas de signos. Por eso suele ser el ejercicio más largo del segundo parcial, y también el que más puntos reparte. Si te pasa que empezás bien y en algún paso te perdés, lo que falta es un orden claro.
El tema
Para arrancar
La idea es usar la derivada primera para saber dónde la función crece, decrece y tiene máximos o mínimos, y la derivada segunda para saber dónde es cóncava hacia arriba o hacia abajo. Con esa información, más los datos de dominio y asíntotas, podés hacer un gráfico aproximado que tenga sentido y justificar cada parte.
Conceptos clave
Lo que tenés que entender
Puntos críticos
Son los valores del dominio donde f'(x) = 0 o donde f' no existe. Son los únicos candidatos a máximos y mínimos locales.
Crecimiento y decrecimiento
Donde f' > 0 la función crece y donde f' < 0 decrece. Los intervalos se obtienen con una tabla de signos de f', igual que con los polinomios.
Máximos y mínimos locales
Si f' pasa de positiva a negativa en un punto crítico, hay un máximo local; si pasa de negativa a positiva, un mínimo local. El valor del extremo se calcula reemplazando en f, no en f'.
Concavidad
Donde f'' > 0 la función es cóncava hacia arriba y donde f'' < 0, cóncava hacia abajo. Algunos libros usan los nombres convexa y cóncava, así que conviene ver cuál usa tu cátedra.
Puntos de inflexión
Son los puntos donde la función cambia de concavidad. Se buscan entre los valores donde f'' = 0 o no existe, y hay que comprobar que efectivamente cambia el signo.
Gráfico aproximado
Con dominio, ceros, asíntotas, intervalos de crecimiento, extremos y concavidad se arma un gráfico que respeta todos los datos. Es lo que suele pedir el último ítem del ejercicio.
Paso a paso
Un ejercicio como los de la prueba
Resuelto como lo hacemos en clase: primero la idea, después la cuenta.
Ejercicio resuelto
Sea f(x) = x³ - 6x² + 9x + 1. Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos locales, los intervalos de concavidad y el punto de inflexión.
- Dominio: f es polinómica, así que Dom f = ℝ.
- Derivada primera: f'(x) = 3x² - 12x + 9 = 3(x² - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3). Los puntos críticos son x = 1 y x = 3.
- Signos de f': f'(0) = 9 > 0, f'(2) = 3·(1)·(-1) = -3 < 0, f'(4) = 3·3·1 = 9 > 0. Entonces f crece en (-∞, 1) y en (3, +∞), y decrece en (1, 3).
- Extremos: en x = 1 hay máximo local, con f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5. En x = 3 hay mínimo local, con f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1.
- Derivada segunda: f''(x) = 6x - 12, que se anula en x = 2. f'' < 0 si x < 2 y f'' > 0 si x > 2, así que hay cambio de concavidad.
- Punto de inflexión: f(2) = 8 - 24 + 18 + 1 = 3. El punto es (2, 3).
Resultado f crece en (-∞, 1) ∪ (3, +∞) y decrece en (1, 3); máximo local en (1, 5); mínimo local en (3, 1); cóncava hacia abajo en (-∞, 2) y hacia arriba en (2, +∞); punto de inflexión en (2, 3).
Ojo con esto
Los errores típicos
- Calcular el valor del extremo reemplazando en f' en lugar de en f.
- Decir que hay extremo en todo punto donde f' = 0 sin revisar el cambio de signo.
- Olvidarse de considerar los puntos fuera del dominio al armar la tabla de signos.
- Mezclar los nombres de concavidad (cóncava y convexa) de forma distinta a la que usa la cátedra.
- Hacer un gráfico que contradice los datos calculados, por ejemplo una función que baja donde se dijo que crece.
En clase
Cómo lo trabajamos con Gabriela
En la clase armamos juntos una planilla fija para el estudio de funciones: dominio, ceros, asíntotas si corresponde, derivada primera con su tabla, extremos, derivada segunda con su tabla e inflexión. La practicamos con polinomios y después con funciones que combinan exponenciales, logaritmos o cocientes, que son las que aparecen en los parciales más exigentes. Cuando lo resolvés siempre en el mismo orden, el ejercicio largo deja de dar miedo.
¿Es obligatorio usar la derivada segunda para los extremos?
No. El criterio de la derivada primera, mirando el cambio de signo, alcanza para clasificar máximos y mínimos. La derivada segunda se usa sobre todo para concavidad e inflexión, aunque también sirve como criterio alternativo para los extremos.
¿Qué hago si la función tiene asíntotas?
Se calculan como en la unidad de límites y se incorporan al análisis. Los puntos donde la función no está definida se marcan en la tabla de signos de f' y f'', porque ahí también puede cambiar el signo aunque no haya extremo.
¿Qué diferencia hay entre extremo local y absoluto?
Un extremo local es el mayor o menor valor en un entorno del punto. El absoluto es el mayor o menor valor en todo el dominio o en el intervalo que pida el ejercicio. En un polinomio de grado 3 sobre todo ℝ no hay extremos absolutos.
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